ファジィ演算

実際に「ファジィ」を使おうと思ったら、ファジィで表わされたものを何らかの計算ができないと意味がありませんね？そこで、ここではファジィ集合の演算について紹介したいと思います。よく用いられる演算はＡＮＤ演算、ＯＲ演算、ＮＯＴ演算があります。それではこれから各演算について説明します。

ＡＮＤ演算（積集合、かつ）

と書きます。
式は

となります。

図３．１　ＡＮＤ演算

ＡＮＤ演算は「ＡでありかつＢである」という意味です。したがって、ＡＮＤ演算ではＡとＢの両方の重なる部分の集合が積集合として求まります。

例えば、二人の人が快適に感じる気温というのは「Ａさんが快適と感じる温度」と「Ｂさんが快適と感じる温度」の「ＡＮＤ演算」によって求めることができます。上の図で考えると、横軸を気温でとり、Ａを「Ａさんが快適と感じる温度」、Ｂを「Ｂさんが快適と感じる温度」とします。するとグレーの部分が「二人とも快適と感じる温度」になります。また、Ａ、Ｂはファジィ集合なので、気温に対するそれぞれの人の快適な度合をあらわしています。したがって、ＡとＢの積集合は「二人とも快適の感じる温度」の度合をあらわしています。

ＯＲ演算（和集合、または）

と書きます。
式は

となります。

図３．２　ＯＲ演算

ＯＲ演算は「Ａであるかまたはである」という意味です。したがって、ＯＲ演算ではＡとＢの両方をたしあわせた集合が和集合として求まります。

例えば、ＡＮＤ演算のときの例を用いると、こんどは「ＡさんかＢさんのどちらか一方が快適と感じる温度」が「ＯＲ演算」により求まります。求まった和集合はどちらか一方の人がどれだけ快適に感じているかの度合をあらわすファジィ集合としてとることができます。

ＮＯＴ演算（補集合、否定）

や

などであらわします。
（ここでは

を使うことにします）

図３．３　ＮＯＴ演算（補集合）

ＮＯＴ演算は「Ａでない」という意味です。ファジィ集合における否定には、いくつかの種類が提案されています。有名なところでは、ザデーの否定、直観主義の否定、-補集合などがあります。図７はザデーの否定といわれるものです。ザデーの否定では、メンバーシップのグレード値は要素がその集合（概念）に属する度合をあらわすと考え、グレード値が１なら、100％属する、グレード値が０なら全く属さない（0％属する）としています。したがって、ザデーの否定の式はとなります。

ザデーの否定は基本的には直感的に考えた否定と一致するのですが、いくつかの点で違和感を感じるところがあります。まず、「Ａである」と「Ａでない」が両立する場合があります。図７でみると、二つの集合が重なる部分（下側に二つできている三角形）がこれにあたります。つぎに、２重否定の問題があります。ザデーの否定では２重否定はもとの集合に戻りますが、実際にはどうでしょうか？例えば、「背が高くないことはない」という２重否定を考えてみると、「背が高い」を２回否定していることになりますが、意味としては「背が高い」にはなりませんよね？普通は「背が高くないことはない」といわれたら「ほどほどに背が高い」といった様子を思い浮かべるのではないでしょうか。

直観主義の否定はこの二つの性質を満たす否定形式です。直観主義の否定ではＡでないということは、Ａ以外なら完全に真、Ａの範囲では完全に偽という形態をとります。式で書くと、