ファジィ積分

ファジィ積分とは

ファジィ積分とは、ファジィ測度を利用することで、複数の属性を持つようなものに関する総合評価を得るための手法です。ファジィ積分は、対象のファジィ測度が得られていることが前提となります。例えば、不動産を選ぶときのように、駅から近いとか、まわりの環境がいいとか、部屋が広いとか、それぞれ重要度が異なる様々な基準があり、それらの総合評価として物件の評価を行うといったことを計算から求めるというのは困難なことです。ファジィ積分は、そのような評価をファジィ測度を利用することで求めようというものです。

ファジィ積分にはいくつかの手法が提唱されています。ここでは、そのうち代表的なものである、ショケ積分と菅野積分（すげのせきぶん）について扱いたいと思います。

ショケ積分　choquet integral

ショケ積分は各要素を測度によって重みづけし、各評価の和を求め総合評価をだす手法です。ショケ積分では、測度としてファジィ測度を用いるため測度に加法性が成り立っていなくてもかまいません。むしろ成り立っていないからこそショケ積分が意味をもってきます。（余談ですが、一般的な加法的測度の場合にはショケ積分の演算は、ルベーグ積分と等価です。）

ショケ積分の一般式は以下のようになります。

これではよくわからないので、とりあえず具体例をあげて説明をしてみたいと思います。

不動産の物件について評価をだす場合、駅からの距離、広さ、値段で評価をするとします。ここで、ファジィ測度は以下のように定めます。
{駅広値}=1.0
{駅広}=0.9　{駅値}=0.8　{広値}=0.7
{駅}=0.5　{広}=0.3　{値}=0.6

さらに、ここでは、各評価（グレード値）が、駅=0.7、広=0.5、値=0.6、の物件について評価を行うとします。ショケ積分では上の測度のうち、{駅広値}=1.0、{駅値}=0.8、{駅}=0.5　を用います。したがって、計算式は以下のようになります。
1.0 * 0.5 + 0.8 * (0.6 - 0.5) + 0.5 * (0.6 - 0.7) = 0.5 + 0.08 + 0.05 = 0.63

図的に示すと、図８．１のようになります。

図８．１　ショケ積分

ショケ積分では図８．１のように各測度ごとに積み木のように評価値を積んでゆきその面積の合計を総合評価として求めるというスタイルをとっています。そのために、まず全ての要素の場合の評価は全部の中から、一番低いグレードを持つ要素の値が用いられます。これが式の始めにある、0.5です。つまり、{駅広値}では「広」のグレードが一番低いので、「広」のグレードが{駅広値}のグレードとなります。次に、「広」を取り除いた要素で考えるので、{駅値}のグレードを求めるわけですが、ここでは「値」のほうがグレードが低いのでこちらが採用されるわけですが、図８．１にあるように、面積を求めるためには縦軸のt0からt1までの間は{駅広値}と重なっているわけです。そこで、総合評価を求める際にはこの部分を切り捨てる必要があります。そのため、 (0.6 - 0.5) となっているわけです。最後に{駅}のグレードはそのまま駅=0.7となるわけです。式の中で (0.6 - 0.7) となる理由は、前述のとおりです。

菅野積分

菅野積分は一種のMin-Max演算のようなものです。具体的な流れとしては、まず全ての要素ごとの満足度（グレード値）とその要素の評価に対し寄与する度合についてＡＮＤ（Min）をとり、求まった値、全てについてのＯＲ（Max）をとり、それを総合評価とします。式で表すと次のようになります。

Ｘを全体集合として、ＳがＸのすべての部分集合の場合について、その最大値を求めたものが菅野積分となります。

それでは、ここで一つ例を示します。例えば、不動産の物件について評価をだす場合、駅からの距離、広さ、値段で評価をするとします。ここで、ファジィ測度は以下のように定めます。
{駅広値}=1.0
{駅広}=0.9　{駅値}=0.8　{広値}=0.7
{駅}=0.5　{広}=0.3　{値}=0.6

さらに、ここでは、各評価（グレード値）が、駅=0.7、広=0.5、値=0.6、の物件について評価を行うとします。すると、まず各測度ごとの評価は、評価測度として求まるので、

駅広値=0.70.50.61.0=0.5
駅広=0.70.50.9=0.5
駅値=0.70.60.8=0.6
広値=0.50.60.7=0.5
駅=0.70.5=0.5
広=0.50.3=0.3
値=0.60.6=0.6

さらに、総合評価を求める。

駅広値駅広駅値広値駅広値=0.50.50.60.50.50.30.6=0.6

よって、総合評価は0.6となる。